हमें कैसे पता चलेगा कि सभी इलेक्ट्रॉन समान हैं? भाग 2

भाग 1 में, मैं गिब्स विरोधाभास, 19 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध सांख्यिकीय यांत्रिकी के एक विरोधाभास पर चला गया, जिसके संकल्प ने सुझाव दिया कि कणों को किसी स्तर पर समान और अप्रभेद्य होना चाहिए। यह पहला सुराग था, और कुछ लोगों को इस मुद्दे के बारे में सोच रहा था - लेकिन यह वास्तव में अंतिम शब्द नहीं था।

भाग 2 में, मैं अपने स्पष्टीकरण को पूरा करूँगा कि भौतिकविदों को कैसे पता चलता है कि सभी प्राथमिक कण (जैसे कि इलेक्ट्रॉन) क्वांटम यांत्रिकी में तल्लीन होकर समान हैं, भौतिकी का एक आकर्षक क्षेत्र जो 20 के पहले 3 दशकों में खोजा गया और विकसित हुआ। सदी (1900-1930)। भाग 1 को पढ़े बिना भाग 2 को पढ़ना पूरी तरह से संभव होना चाहिए; भले ही वे दोनों क्यों कणों के समान हैं, दोनों आत्म-निहित हैं और न ही दूसरे पर निर्भर है। भाग 1 मूल रूप से स्पष्टीकरण है जैसा कि लगभग 1900 समझा जा सकता था, जबकि भाग 2 वह व्याख्या है जो 1930 तक समझी गई थी - क्वांटम यांत्रिकी पूरी हो जाने के बाद।

शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी में, आप संभावनाओं द्वारा सिस्टम की स्थिति के लिए विभिन्न संभावनाओं का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप गैस के तापमान और दबाव को जानते हैं, तो गैस बनाने वाले विभिन्न कणों का एक सांख्यिकीय वितरण ("संभावना घनत्व फ़ंक्शन" कहा जाता है) होता है। ये कण बेतरतीब ढंग से चारों ओर उछल रहे हैं। उच्च तापमान पर, आपको गैस के एक अणु के तेजी से बढ़ने की अधिक संभावना है; कम तापमान पर, आपको गैस के एक अणु के धीरे-धीरे बढ़ने की अधिक संभावना है। लेकिन किसी भी तरह से संभावनाओं की एक पूरी श्रृंखला है।

क्वांटम यांत्रिकी में, यह सच है लेकिन यह थोड़ा अधिक जटिल है। क्वांटम मैकेनिक्स में प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन "तरंग फ़ंक्शन" नामक एक जटिल फ़ंक्शन के परिमाण के वर्ग द्वारा दिया जाता है। जटिल से मेरा मतलब वास्तविक संख्याओं (x = 1, 2, 3.4, 9.8, आदि) के एक फ़ंक्शन के बजाय है, यह जटिल संख्याओं का एक फ़ंक्शन है, जिनमें से प्रत्येक में एक वास्तविक और एक काल्पनिक भाग (z = 1 + i) है, 2 + 3.5i, 4.8 + 9i, आदि) यदि आपने पहले कभी इसका सामना नहीं किया है, तो मुझे यकीन है कि यह वास्तव में अजीब लगता है। लेकिन मैं इसके अलावा और बहुत कुछ नहीं कह सकता: यह सिर्फ क्वांटम यांत्रिकी काम करता है - यह थोड़े अजीब है!

उदाहरण के लिए, यदि इलेक्ट्रान के लिए तरंग फ़ंक्शन पोज़िशन x पर 1 / position2 और पोज़िशन y पर 1 / at2 है, तो जब आप इन्हें वर्गाकार करते हैं तो आपको संभावनाएँ मिलती हैं: पोज़िशन x पर इसके मिलने की संभावना 1/2 है और इसके y पर पाए जाने की संभावना भी 1/2 है। यदि आपको किसी स्थान पर इसकी तलाश है तो आपको 50/50 शॉट मिलेंगे।

अब तक यह शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी के समान है। यदि आप चाहते थे, तो आप हर जगह खुद के वर्गमूल द्वारा शास्त्रीय भौतिकी में संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व कर सकते थे, और कुछ भी नहीं बदलेगा। अंतर यह है कि, क्वांटम यांत्रिकी में तरंग एक मानसिक अमूर्त की तरह कम और वास्तविक भौतिक तरंग की तरह अधिक काम करती है, जिसमें यह हस्तक्षेप को प्रदर्शित कर सकता है।

अंधेरे और प्रकाश हस्तक्षेप झल्लाहट

शास्त्रीय रूप से, संभावना तरंगें एक दूसरे के साथ हस्तक्षेप नहीं करती हैं। प्रायिकता हमेशा एक सकारात्मक संख्या होती है, इसलिए यदि गैस के दो अलग-अलग कणों में प्रत्येक स्थान x पर पाए जाने के लिए प्रायिकता p है, तो उनमें से किसी एक को खोजने की संभावना सिर्फ 2p है। शास्त्रीय रूप से, घटित होने वाली विभिन्न घटनाओं (या अलग-अलग माप के परिणाम) की संभावना हमेशा एक-दूसरे से जुड़ती है, यह कभी घटती नहीं है।

लेकिन क्वांटम यांत्रिकी में, यह तरंग ही है (इसके वर्ग के बजाय) जो लहर के रूप में कार्य करता है। और चूंकि प्रत्येक बिंदु पर तरंग किसी भी जटिल संख्या (सकारात्मक या नकारात्मक वास्तविक संख्या सहित) हो सकती है, कभी-कभी जब आप विभिन्न संभावनाओं को जोड़ते हैं तो संभावनाएं जोड़ते हैं लेकिन दूसरी बार वे घटते हैं! जब घटाव होता है - उदाहरण के लिए यदि दो अलग-अलग घटनाओं की संभावना पूरी तरह से रद्द कर देती है तो ऐसा होना असंभव है - जिसे क्वांटम हस्तक्षेप कहा जाता है।

मान लेते हैं कि हमारे पास 2 इलेक्ट्रॉन हैं और केवल 2 स्थान हैं जहां प्रत्येक इलेक्ट्रॉन पाया जा सकता है, स्थान x या स्थान y। यदि दो इलेक्ट्रॉनों में अंतर था, तो हम उन्हें "इलेक्ट्रॉन ए" और "इलेक्ट्रॉन बी" लेबल कर सकते हैं और इसका मतलब है कि 4 संभावित राज्य हैं 2-इलेक्ट्रॉन प्रणाली अंदर हो सकती है। या तो ए और बी दोनों एक्स पर हैं, दोनों हैं। y पर A, x पर है और B, Y पर है या B, X पर है और A, Y पर है। संक्षेप में, हमारे पास AB = xx, yy, xy, या yx है। क्वांटम यांत्रिकी में इस तरह के राज्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक सामान्य अंकन कोणीय कोष्ठक का उपयोग करना है: xx>, |yy>, | xy>, और | yx>।

लेकिन 1920 में वैज्ञानिक अनुसंधान ने एक आश्चर्यजनक तथ्य का प्रदर्शन किया: 2 इलेक्ट्रॉनों की एक प्रणाली इस तरह से 4 अलग-अलग राज्यों में नहीं हो सकती है, केवल 1 संभव राज्य है जो इसमें हो सकता है!

उस कारण का एक हिस्सा जिसे आप अनुमान लगाने में सक्षम होना चाहिए: यदि इलेक्ट्रॉन ए को इलेक्ट्रॉन बी से अलग करने का कोई तरीका नहीं है, तो बताता है। xy> और yx> समान हैं। वे एक ही भौतिक अवस्था का प्रतिनिधित्व करने के दो अलग-अलग तरीके हैं। किसी भी तरह से, स्थिति x पर 1 इलेक्ट्रॉन और स्थिति y पर 1 है।

लेकिन यह अभी भी हमें 3 राज्यों के साथ छोड़ देता है, 1 नहीं - एक राज्य होने में क्या गलत है जैसे xx> जहां दोनों इलेक्ट्रॉनों स्थिति x पर हैं, या = yy> जहां दोनों स्थिति y पर हैं? यह पता चला है, 1 से अधिक इलेक्ट्रॉन कभी भी एक ही राज्य पर कब्जा नहीं कर सकते हैं। 1925 में, वोल्फगैंग पाउली ने इस सिद्धांत को प्रस्तावित किया - जिसे अब पाउली अपवर्जन सिद्धांत के रूप में जाना जाता है - और 1940 में वह क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का उपयोग करते हुए साबित करने में सक्षम था कि यह केवल इलेक्ट्रॉनों पर नहीं बल्कि एक निश्चित प्रकार के सभी कणों पर लागू होता है (आधे-पूर्णांक वाले) स्पिन - इलेक्ट्रॉनों में स्पिन 1/2) है।

वोल्फगैंग पाउली

इस पोस्ट में स्पिन क्या है, इसका पूरा विवरण देने के लिए यह मुझे बहुत दूर का विषय लगेगा (यदि आप अधिक जानना चाहते हैं, तो आपको स्पिन -1 / 2 की मेरी व्याख्या को Quora पर पढ़ने के लिए प्रोत्साहित किया गया है, जिसे उन्होंने अभी अधिसूचित किया है मुझे कल 100,000 से अधिक लोगों को ईमेल किया गया था)। लेकिन यह पता चला है, सभी क्वांटम कण 2 श्रेणियों में से 1 में आते हैं: फरमान या बोसॉन। फर्मीशन में आधे-पूर्णांक स्पिन होते हैं और पाउली अपवर्जन सिद्धांत का पालन करते हैं, जबकि बोसॉन में पूर्णांक स्पिन होता है और ऐसा नहीं होता है।

फर्मों में अधिक "मामले-जैसे" गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉनों, प्रोटॉन और न्यूट्रॉन सभी स्पिन -1 / 2 फ़र्मियन हैं। वे वे हैं जो पदार्थ के परमाणुओं (परमाणुओं, अणुओं, आदि) के निर्माण खंडों को बनाते हैं। आपने कहीं न कहीं यह सुना होगा कि एक ही स्थान पर एक ही स्थान पर कोई पदार्थ नहीं रह सकता है। यह पाउली अपवर्जन सिद्धांत (साथ ही विभिन्न परमाणुओं के बीच इलेक्ट्रोस्टैटिक प्रतिकर्षण) के हिस्से के कारण है।

बोसोन में अधिक "विकिरण जैसी" गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, फोटॉन - प्रकाश और अन्य विद्युत चुम्बकीय विकिरण (रेडियो तरंगों, माइक्रोवेव, वाईफाई, यूवी, एक्स-रे, गामा किरणों, आदि) के लिए जिम्मेदार कण - स्पिन -1 बोसोन हैं। 2012 में LHC में खोजा गया हिग्स बोसोन एक स्पिन-0 बोसॉन है। और अधिकांश सैद्धांतिक भौतिकविदों का मानना ​​है कि गुरुत्वाकर्षण को स्पिन -2 बोसॉन द्वारा मध्यस्थता दी जाती है, जिसे ग्रेविटोन कहा जाता है, हालांकि अभी तक प्रयोगशाला में इसका पता नहीं चल पाया है।

पाउली अपवर्जन सिद्धांत केवल एक स्वयंसिद्ध नियम नहीं है, यह एक निष्कर्ष है जो भौतिकी के हमारे सर्वोत्तम मौलिक सिद्धांतों से प्राप्त किया जा सकता है। वास्तव में, यह एक निष्कर्ष के रूप में पाउली अपवर्जन सिद्धांत को पूरी तरह से प्राप्त करने के लिए क्वांटम यांत्रिकी के साथ संयुक्त विशेष सापेक्षता के सिद्धांत के दोनों की आवश्यकता है। जिस तरह से स्पिन काम करता है, उसके कारण 2 बोसॉन की तरंग हमेशा "सममित" होने के लिए मजबूर होती है, जबकि 2 fermions की तरंग को हमेशा "एंटीसिममेट्रिक" होने के लिए मजबूर किया जाता है।

इस संदर्भ में, सममित का सीधा सा अर्थ है कि यदि आप दो बोसोन के स्थानों को एक-दूसरे से जोड़ते हैं तो कुछ भी नहीं होता है - आप ठीक उसी स्थिति में वापस आ जाते हैं। एंटीसिममेट्रिक का मतलब कुछ इसी तरह का है, लेकिन काफी नहीं: यदि आप दो समान फ़र्मों के स्थानों को आपस में जोड़ते हैं तो आप एक ही अवस्था में वापस आ जाते हैं, लेकिन इसके सामने एक ऋण चिह्न होता है।

क्वांटम यांत्रिकी एक प्रकार की वेक्टर अंतरिक्ष में किया जाता है जिसे "हिल्बर्ट स्पेस" कहा जाता है जहां जब भी आपके पास 2 राज्य होते हैं, तो एक और राज्य होता है जो उन्हें "रैखिक संयोजन" में एक साथ जोड़कर बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि | xy> और | yx> दोनों हिल्बर्ट स्पेस में स्थित हैं, तो | xy> + | yx> भी उसी हिल्बर्ट स्पेस में एक अवस्था है। और ऐसा ही है | xy> - | yx> या कोई अन्य रैखिक संयोजन जैसे 3 | xy> -2 | yx>। क्वांटम यांत्रिकी में राज्यों के संयोजन के इस तरीके को "सुपरपोजिशन" कहा जाता है। निश्चित रूप से एक स्थान पर होने के बजाय या निश्चित रूप से दूसरे स्थान पर होने के बजाय, इलेक्ट्रॉन के एक स्थान पर होने की संभावना है और दूसरे पर होने की कुछ संभावना है।

हालाँकि, क्योंकि ये राज्य एक क्वांटम तरंग का प्रतिनिधित्व करते हैं, और मैंने पहले उल्लेख किया था कि क्वांटम तरंग की परिमाण का वर्ग एक संभाव्यता वितरण है, राज्यों को इस तरह से सामान्यीकृत किया जाना चाहिए कि इलेक्ट्रॉन की कुल संभावना कहीं भी बढ़ जाती है। 100% (या 1) के लिए। इसलिए, ऊपर के रैखिक संयोजनों में गुणांक को सामान्य करने के लिए एक समग्र कारक द्वारा विभाजित किया जाना है।

इसे इस आवश्यकता के साथ जोड़ते हुए कि फ़ेरोमेनिक वेवफंक्शन हमेशा एंटीसिमेट्रिक होना चाहिए, इसका मतलब है कि ये 2 इलेक्ट्रॉन केवल एक ही स्थिति में हो सकते हैं (यह मानते हुए कि उनके लिए केवल 2 संभावित स्थान हैं) 1 / √2। Xy> -1 / √2 | YX>। (या एक ही चीज को किसी भी जटिल परिमाण 1 से गुणा किया जाता है, जो शारीरिक रूप से समतुल्य है।) यदि हम इसमें x और y को बदलते हैं, तो हमें 1 / √2 | yx> -1 / √2 | xy> मिलता है, जो वास्तव में है। -1 मूल स्थिति। गणितीय रूप से हिल्बर्ट स्पेस में यह एक अलग स्थिति है, लेकिन शारीरिक रूप से इसका मतलब एक ही है। यदि आप 1 / co2 गुणांक को वर्ग करते हैं तो यह आपको बता रहा है कि एक 1/2 मौका है कि इलेक्ट्रॉन ए x पर है और इलेक्ट्रॉन बी y पर है, और एक 1/2 मौका है कि इलेक्ट्रॉन B x और इलेक्ट्रॉन A पर है y पर है। 50/50

हमने जो किया वह दो राज्य हैं जो शारीरिक रूप से अविभाज्य हैं - xy> और | yx>, और उनमें से एक सुपरपोजिशन का गठन किया है जिसमें इस एंटीस्मेट्रिक संपत्ति की आवश्यकता होती है। लेकिन राज्यों के बारे में क्या है? Xx> और | yy> इन्हें कभी भी एंटीसिमेट्रिक नहीं बनाया जा सकता है, क्योंकि एक्स के साथ एक्सचेंजिंग या वाई के साथ वाई कुछ भी नहीं बदलता है। क्योंकि वे आंतरिक रूप से सममित अवस्थाएं हैं, वे सिर्फ मौजूद नहीं हो सकते हैं - वे केवल बोसॉन पर लागू होते हैं।

जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, इसका मतलब यह है कि बोसोन के लिए 3 संभावित राज्य हैं वे सिर्फ 1 के बजाय मौजूद हो सकते हैं। 2 फोटॉनों के लिए जो स्थान x या स्थान y पर हो सकते हैं, वे 3 अलग-अलग राज्यों में हो सकते हैं। xx> ; yy>, या 1 / y2 | xy> + 1 / |2 | yx> - ये सभी पूरी तरह से सममित हैं यदि आप x और y को बदलते हैं। (कोई माइनस साइन नहीं है।)

संक्षेप में, अलग-अलग स्थानों पर 2 अलग-अलग स्थानों पर हो सकने वाले अलग-अलग कणों की एक जोड़ी में 4 संभावित अवस्थाएँ हो सकती हैं। जबकि एक जोड़े में केवल 1 संभावित अवस्था होती है, और एक जोड़ी बोसॉन में 3 संभावित अवस्थाएँ होती हैं। यह fermions और bosons के लिए बहुत अलग सांख्यिकीय व्यवहार की ओर जाता है, और बताता है कि 2 प्रकार के कणों के गुणों में से बहुत सारे क्यों अलग हैं।

मेरे पहले के एक पोस्ट में, मैंने बताया कि कैसे 1800 के उत्तरार्ध में मैक्स प्लैंक के एंट्रॉपी के अध्ययन ने क्वांटम यांत्रिकी की प्रारंभिक खोज को जन्म दिया। उसी समय अवधि के दौरान, पहले से ही एक बड़ा सुराग था जो थोड़ी देर के लिए था - मैक्सवेल और बोल्ट्ज़मैन के थर्मोडायनामिक्स के संस्करण (जो बाद में सांख्यिकीय यांत्रिकी के रूप में जाना जाता है) के विषय में एक ज्ञात पहेली। लॉ ऑफ इक्विपार्टमेंट का उपयोग करते हुए, शास्त्रीय ऊष्मप्रवैगिकी ने कम तापमान पर कई गैसों के लिए गलत गर्मी क्षमताओं की भविष्यवाणी की।

एक "ऊष्मा क्षमता" ऊष्मा की वह मात्रा है जिसे कोई वस्तु तब तक अवशोषित कर सकती है जब तक उसका तापमान एक निश्चित मात्रा (आमतौर पर 1 डिग्री सेल्सियस) से बढ़ा दिया गया हो। कुछ गैसे अपने तापमान को बढ़ाए बिना बहुत सारी ऊष्मा (थर्मल एनर्जी) को अवशोषित करने में सक्षम होते हैं। जबकि दूसरों के लिए, केवल थोड़ी मात्रा में गर्मी के संपर्क में आने से थर्मामीटर बढ़ जाएगा। मैक्सवेल और बोल्ट्जमैन के अनुसार, इसके पीछे सिद्धांत यह था कि कुछ गैसें थर्मल ऊर्जा को दूसरों की तुलना में अवशोषित और संग्रहीत करने में बेहतर होती हैं क्योंकि उनके पास स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री अधिक संख्या में होती है - ये "स्वतंत्रता की डिग्री" प्रभावी रूप से कंटेनरों के रूप में काम करती हैं, जिसके भीतर कंटेनर ऊर्जा संग्रहित की जा सकती है। इक्विपेरिशन प्रमेय (मैक्सवेल द्वारा प्रस्तावित और फिर बोल्ट्जमैन द्वारा अधिक सामान्यतः साबित) में कहा गया है कि संतुलन में, प्रत्येक गैस (या तरल, या ठोस) में 1/2 एनकेटी की कुल आंतरिक ऊर्जा होगी। जहाँ N उस गैस में स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है, T उस गैस का तापमान है, और k केवल बोल्ट्ज़मन की स्थिरांक है। दूसरे शब्दों में, गैस में प्रति स्वतंत्रता स्वतंत्रता का 1/2 kT थर्मल ऊर्जा होगा।

उदाहरण के लिए, अगर हमारे पास मोनोटॉमिक हाइड्रोजन (मोनोक्रोम का अर्थ है कि हर अणु एक एकल परमाणु है) की एक गैस है, तो प्रत्येक परमाणु में स्वतंत्रता की 3 डिग्री होती है क्योंकि यह 3 दिशाओं में से एक में आगे बढ़ सकता है: ऊपर या नीचे, बाएं या दाएं, और पीछे और फॉरवर्ड (3 दिशाओं के बाद से हम 3-आयामी अंतरिक्ष में रहते हैं)। थर्मल ऊर्जा को उन 3 स्वतंत्र दिशाओं में से किसी में अपनी गतिज ऊर्जा को बढ़ाकर हाइड्रोजन परमाणु द्वारा अवशोषित किया जा सकता है।

चित्र साभार: astarmathsandphysics.com

दूसरी ओर, यदि हमारे पास डायटोमिक हाइड्रोजन अणुओं की एक गैस है (डायटोमिक का अर्थ है कि प्रत्येक अणु एक रासायनिक बंधन से जुड़े 2 परमाणुओं से बना है) तो स्वतंत्रता की अधिक डिग्री (संभव तरीके जिसमें गैस के प्रत्येक अणु को स्थानांतरित कर सकते हैं) हैं । किसी भी 3 आयामों में रैखिक रूप से स्थानांतरित होने की स्वतंत्रता के अलावा, इसे 2 अलग-अलग अक्षों के साथ घूमने की भी स्वतंत्रता है।

यद्यपि द्रव्यमान के द्वारा ब्रह्मांड में 75% द्रव्यमान मोनोटोमिक हाइड्रोजन है, पृथ्वी पर अधिकांश हाइड्रोजन डायटोमिक हाइड्रोजन है। ऐसा इसलिए है क्योंकि हाइड्रोजन केवल अत्यधिक उच्च तापमान पर ही monatomic है और दबाव तारों (जैसे सूरज) के अंदर मौजूद है। पृथ्वी की सतह के पास पाए जाने वाले तापमान की सीमा के तहत, हाइड्रोजन स्वाभाविक रूप से अपने डायटोमिक चरण में जुड़ जाता है। लेकिन 1800 में जो अजीब लग रहा था, वह यह है कि सटीक तापमान के आधार पर, डायटोमिक हाइड्रोजन में अलग-अलग ताप क्षमता हो सकती है।

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कमरे के तापमान पर, हाइड्रोजन की ऊष्मा की क्षमता प्रति अणु के करीब 5/2 k है (या यदि यह प्रति अणु के बजाय प्रति तिल है, तो यह आरेख में 5/2 R के रूप में लिखा जाता है)। थर्मोडायनामिक्स के मैक्सवेल और बोल्ट्जमैन के दृष्टिकोण के अनुसार, यह स्वतंत्रता की 5 डिग्री का अर्थ है (वास्तव में 7, यदि आप कंपन के लिए स्वतंत्रता के 2 और डिग्री शामिल हैं)। लेकिन कमरे के तापमान पर सटीक मूल्य लगभग 2.47k है। और जैसे ही गैस को 0 सेल्सियस (273K) से नीचे ठंडा किया जाता है, यह धीरे-धीरे 2.47k से नीचे गिरता है और अंततः 1.5k पर बस जाता है। लेकिन 3/2 k का अर्थ होगा कि इसमें स्वतंत्रता की केवल 3 डिग्री है - दूसरे शब्दों में, कि यह एक मोनोटोमिक गैस है! कम तापमान पर ठंडा हाइड्रोजन एक मोनोनेटिक गैस क्यों बनेगा? और स्वतंत्रता के 3 और 5 डिग्री के बीच एक मूल्य होने का क्या मतलब है? ताप क्षमता को तापमान से स्वतंत्र माना जाता था। ऑक्सीजन और नाइट्रोजन गैस की मापित गर्मी क्षमताओं के साथ समान ज्ञात समस्याएं थीं।

1800 के दशक में इस पहेली के लिए कई प्रस्तावित स्पष्टीकरण थे, लेकिन क्वांटम यांत्रिकी के विकास तक किसी को भी पूर्ण उत्तर समझ में नहीं आया। पूर्ण उत्तर यह है कि अणुओं में स्वतंत्रता के घूर्णी डिग्री के तरीके को मात्रा में उत्तेजित किया जा सकता है। शास्त्रीय रूप से, कोई भी चीज किसी भी गति पर घूम सकती है, चाहे कितनी भी धीरे-धीरे - किसी भी मात्रा में ऊर्जा, चाहे कितनी भी छोटी हो, कुछ घूमना शुरू कर सकती है। लेकिन क्वांटम यांत्रिकी में, कोणीय गति को परिमाणित किया जाता है ताकि घूर्णन केवल कुछ असतत वेतन वृद्धि में हो सके। या तो एक अणु तेजी से घूमना शुरू कर देता है, या बिल्कुल नहीं - बीच में कोई भी नहीं है। इस वजह से, कम तापमान पर अणुओं की यादृच्छिक टक्करों के बीच ऊर्जा की औसत मात्रा का आदान-प्रदान हो रहा है, जो स्वतंत्रता की इन डिग्रीओं को उत्तेजित करने के लिए बहुत छोटा है। कम तापमान पर, हाइड्रोजन गैस अभी भी डायटोमिक है, लेकिन स्वतंत्रता के 3 अनुवादकीय डिग्री ही हैं जो उत्तेजित हो सकती हैं - अणुओं को घुमाने के लिए पर्याप्त ऊर्जा नहीं है। एक बार जब तापमान एक निश्चित सीमा से ऊपर हो जाता है, तो टकरावों में शामिल विशिष्ट ऊर्जाएं घूमने के लिए पर्याप्त हो जाती हैं। तापमान जितना अधिक होता है, उतनी ही उच्च ऊर्जा की संभावना अधिक होती है जो घूर्णन का कारण बनती है; इसलिए गर्मी की क्षमता धीरे-धीरे उस स्तर तक बढ़ जाती है, जिसमें किसी व्यक्ति ने 5 डिग्री की स्वतंत्रता के साथ अणुओं से बनी किसी चीज की उम्मीद की होगी। यदि आप तापमान को और अधिक बढ़ाते रहते हैं, तो अंततः कंपन को उत्तेजित करने के लिए पर्याप्त गर्म हो जाता है (कल्पना करें कि परमाणुओं के बीच बंधन एक वसंत की तरह है, वैकल्पिक रूप से खींच और संपीड़ित होता है), जो निकला। बहुत गर्म तापमान पर, डायटोमिक गैसेस में स्वतंत्रता की 7 सुलभ डिग्री होती हैं, जो कि आपने सोचा होगा कि किसी भी तापमान पर शास्त्रीय रूप से सच है। क्वांटम यांत्रिकी ऑक्सीजन और नाइट्रोजन की गर्मी क्षमताओं के लिए एक समान स्पष्टीकरण प्रदान करता है।

आइंस्टीन ने 1906 में प्रस्तावित किया कि क्वांटिज़ेशन मैक्सवेल और बोल्टज़मैन के लॉ ऑफ़ इक्विपमेंट के इस स्पष्ट संघर्ष को हल कर सकता है और डायटोमिक गेस के विशिष्ट हीट के लिए प्रायोगिक रूप से मापा जाता है। और उनकी परिकल्पना की पुष्टि 1910 में नर्नस्ट द्वारा की गई जब उन्होंने विभिन्न गेस के विशिष्ट हीट को अधिक सटीकता से मापा और पाया कि वे आइंस्टीन की सैद्धांतिक भविष्यवाणियों से सहमत हैं। यह प्रारंभिक क्वांटम यांत्रिकी के बहुत पहले प्रयोगात्मक परीक्षणों में से एक था, और यह पारित हो गया!

लेकिन समान कणों में वापस जाना, वहाँ एक और तरीका है जिसमें गैसों का एक क्वांटम यांत्रिक सिद्धांत 1800 के पुराने गैसीय सिद्धांत के पुराने शास्त्रीय सिद्धांत से काफी भिन्न होता है।

यदि किसी गैस के अलग-अलग कण अलग-अलग होते हैं, तो जब आप गैस को पूर्ण शून्य तक ठंडा करते हैं, तो वे सभी जमीनी अवस्था में नीचे चले जाएंगे - जो भी उनकी सबसे कम ऊर्जा होती है। आमतौर पर, आपको लगता होगा कि जमीनी अवस्था वह होती है जहां हर कण पूरी तरह से विश्राम में होता है और गतिज ऊर्जा, घूर्णी ऊर्जा या किसी अन्य प्रकार की गति या आंतरिक ऊर्जा नहीं होती है।

लेकिन फ़र्म के एक गैस के लिए, उनकी अविभाज्यता पाउली अपवर्जन सिद्धांत की ओर ले जाती है जो एक ही राज्य में एक से अधिक समान कणों को जाने से रोकती है। इसलिए, वे सभी जमीनी स्थिति में नहीं हो सकते। अक्सर ऊर्जा के स्तर पर एक कण का कब्जा हो सकता है एक सीढ़ी आरेख द्वारा दर्शाया जाता है, जहां प्रत्येक ऊर्जा का स्तर सीढ़ी पर एक और चीर है। आमतौर पर "अध: पतन" भी होता है, जहां कई राज्यों में बिल्कुल समान ऊर्जा होती है - जिस स्थिति में वे सीढ़ी पर एक ही चीर द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, जब तक हम इस तथ्य पर नज़र रखते हैं कि वहाँ पर अध: पतन (कई राज्य) हैं सीढ़ी।

क्या होता है जब फ़र्मेशन की एक गैस (जिसे फर्मी गैस भी कहा जाता है) पूरी तरह से ठंडा हो जाती है, यह है कि दी गई ऊर्जा की प्रत्येक अवस्था भर जाती है, जो जमीन की स्थिति से शुरू होती है और सभी कणों तक सीढ़ी तक चलती है। गैस का हिसाब होता है और उसमें एक पंगु होता है। फिर से, अध: पतन के कारण, कई कण एक ही पायदान पर हो सकते हैं। लेकिन जब तक कणों की कुल संख्या की तुलना में अध: पतन छोटा होता है, तब भी इसका मतलब है कि बहुत सारे रस भरे जाएंगे। एक बार जब आप सभी कणों को कणों से भर देते हैं, तो उच्चतम ऊर्जा स्तर जो भर जाता है, उसे "फर्मी ऊर्जा" कहा जाता है।

1910 में, उसी वर्ष नर्नस्ट ने डायटोमिक गेस के लिए गर्मी क्षमताओं के क्वांटम सिद्धांत की पुष्टि की, खगोलविदों द्वारा एक नए प्रकार के तारे की खोज की गई। 1922 तक इसे "सफेद बौना" नाम दिया जाएगा, लेकिन पहले से ही 1910 में खगोलविदों ने देखा कि यह सामान्य तारों से अलग था और इसमें कुछ बहुत ही अजीब गुण थे। इस तरह के तारे के बारे में हैरान करने वाली बात यह थी कि यह शास्त्रीय भौतिकी के लिए बहुत दूर तक घना प्रतीत होता था कि यह कैसे समझाया जा सकता है।

सीरियस बी (छोटे बिंदु) निकटतम सफेद बौना तारा है

एक सफेद बौने का द्रव्यमान सूर्य के द्रव्यमान के समान है, और फिर भी सभी द्रव्यमान एक छोटी सी गेंद में पैक किए जाते हैं, जो आमतौर पर पृथ्वी के समान आकार के होते हैं। सूर्य को पृथ्वी से लगभग 333,000 गुना बड़े पैमाने पर माना जाता है, इसका मतलब है कि यह एक बहुत ही घनी तरह का पदार्थ है। उस समय, यह भौतिकविदों की तुलना में कहीं अधिक सघन था, जहां कभी भी सितारों को देखा या सुना गया था, भले ही सितारों को आयनों के गस्स (जिसे प्लास्मा के रूप में भी जाना जाता है), ठोस पदार्थ नहीं थे। यदि यह किसी प्रकार का घना ठोस होता, तो यह बिल्कुल क्यों चमकता?

यह पता चला कि यह वास्तव में एक प्लाज्मा था, ठोस नहीं। लेकिन यह वास्तव में वास्तव में घना था। गैसों का कोई शास्त्रीय सिद्धांत यह नहीं समझा सकता है कि यह गैस कैसे घनी हो सकती है और न केवल अपने स्वयं के गुरुत्वाकर्षण के कारण अपने आप में ढह जाती है। 1926 में, आरएच फाउलर ने क्वांटम यांत्रिकी के गणित का उपयोग करते हुए, सही ढंग से समझाया, कि सफ़ेद बौने वास्तव में शास्त्रीय गस्सों के बजाय फ़र्मी गेस हैं।

दूसरे शब्दों में, एक सफेद बौना समान उपदंश की एक गैस है। विशेष रूप से, यह इलेक्ट्रॉनों की एक गैस है। उच्च तापमान और कम दबाव पर, इलेक्ट्रॉनों की एक गैस एक साधारण शास्त्रीय गैस से अलग नहीं होती है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि व्यक्तिगत इलेक्ट्रॉनों समान हैं क्योंकि इलेक्ट्रॉनों की तुलना में कई अधिक राज्य उपलब्ध हैं। उनके पास घूमने के लिए एक बड़ी मात्रा है, और बहुत सारे विभिन्न प्रकार के तरीके जिसमें वे स्थानांतरित कर सकते हैं क्योंकि तापमान काफी अधिक है। लेकिन एक ही गैस को पर्याप्त मात्रा में ठंडा करें, या दबाव बढ़ाएं ताकि यह एक छोटे से पर्याप्त मात्रा में पैक हो जाए, और फिर इलेक्ट्रॉनों को समान राज्यों में निचोड़ना शुरू हो जाता है। सिवाय इसके कि वे पाउली अपवर्जन सिद्धांत के कारण ठीक उसी स्थिति में नहीं जा सकते। इसलिए वे सिर्फ राज्यों को फर्मी ऊर्जा तक भर देते हैं और रुक जाते हैं।

यदि वे अलग-अलग कण थे, तो उन्हें सभी को एक ही अवस्था में जाना होगा और ऊर्जा अनिवार्य रूप से शून्य होगी - जमीनी स्थिति में कोई हलचल नहीं। लेकिन क्योंकि वे fermions हैं, एक "अध: पतन दबाव" है जो उन्हें एक ही राज्य में जाने से रोकता है और गुरुत्वाकर्षण के कारण पूरी चीज़ को ढहने से बचाता है। इस स्थिति में व्यवहार कैसे किया जाता है इसके आँकड़े "फर्मी-डीराक आँकड़े" के रूप में जाने जाते हैं, जो केवल उच्च तापमान और निम्न दबावों की सीमा में शास्त्रीय "मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े" के समान हो जाता है। इस संदर्भ में आंकड़े इस बात को संदर्भित करते हैं कि संभावना क्या है कि प्रत्येक कण में तापमान के कार्य के रूप में संतुलन में एक ऊर्जा दी जाएगी। या यह कहने का एक और तरीका: संतुलन के पहुंचने के बाद किसी सिस्टम के लिए प्रत्येक ऊर्जा स्तर पर पाए जाने वाले कणों की अपेक्षित संख्या क्या होगी?

आप मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन आंकड़ों की गणना करके यह अनुमान लगा सकते हैं कि कितने अलग-अलग अनूठे राज्यों में कंबाइनेटिक्स का उपयोग करके कण कब्जा कर सकते हैं, और फिर यह पता लगा सकते हैं कि राज्यों का यह वितरण अधिकतम कहां पहुंचता है (अधिकतम एन्ट्रापी, उर्फ ​​संतुलन का प्रतिनिधित्व करने वाला)। निम्न ऊर्जा के लिए, अध: पतन आमतौर पर कम होता है, इसलिए कई राज्य नहीं होते हैं। लेकिन अगर किसी व्यक्ति के कण की ऊर्जा बहुत अधिक है, तो यह अन्य कणों के बीच वितरित होने वाली ऊर्जा की मात्रा को कम कर देता है जिसके परिणामस्वरूप कम संभव संयोजन होते हैं। तो एक संतुलन है, एक संतुलन की स्थिति, जहां पूरी प्रणाली अधिकतम एन्ट्रापी में होती है, जब किसी दिए गए ऊर्जा के राज्य कणों की अपेक्षित संख्या N_i = K_i / e ^ (E_i-µ / / (kT)) से भर जाते हैं। K_i पतित है; यह दर्शाता है कि किसी दिए गए ऊर्जा स्तर E_i पर कितने राज्य हैं। E ^ का कारक (- E_i / kT) (जहाँ k बोल्ट्जमान स्थिरांक और T तापमान है) को "बोल्ट्ज़मन कारक" के रूप में जाना जाता है। बोल्ट्जमैन कारक का अर्थ है जैसे हम ऊर्जा के स्तर की सीढ़ी को आगे बढ़ाते हैं, प्रत्येक जंग पर कब्जा करने वाले कणों की संख्या तेजी से कम और कम हो जाती है (भले ही पतन के कारण उनके लिए अधिक से अधिक स्थान हो)। लेकिन तापमान नियंत्रित करता है कि यह घातीय कितनी तेजी से गिरता है। ग्रीक प्रतीक µ in e ^ (E_i-/) / (kT) को "रासायनिक क्षमता" कहा जाता है और यह अभी के लिए महत्वहीन है, लेकिन यह दर्शाता है कि अगर एक अतिरिक्त कण इसमें जोड़ा गया तो सिस्टम की कुल ऊर्जा कितनी बढ़ जाएगी। । (कई प्रणालियों के लिए, µ 0 या लगभग 0 है इसलिए इसे अक्सर शामिल नहीं किया जाता है)।

जब तक गैस काफी विरल हो जाती है, तब तक हमें एक ही अवस्था में रहने वाले दो अलग-अलग कणों के बारे में चिंता करने की ज़रूरत नहीं है (सभी राज्यों में अपेक्षित N_i की संख्या 1 से कम है), तो एक ही व्युत्पत्ति केवल फ़र्म के लिए या बॉन के लिए ठीक काम करती है - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, दोनों एक ही मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन आँकड़े के लिए नेतृत्व करते हैं। हालांकि, यदि आप उस मामले पर विचार करते हैं जहां गैस बहुत घनी है या कम पर्याप्त तापमान पर है, तो अचानक यह बहुत मायने रखता है कि क्या कण fermions या bosons हैं (या न तो, जो वास्तव में प्रकृति में नहीं होता है लेकिन कल्पना की जा सकती है) । फ़र्मेशन के लिए, जब आप राज्यों की गणना करते हैं और उनकी अधिकतम संख्या N_i = 1 / (e ^ ((E_i-µ) / (kT)) + 1) पाते हैं, तो यह 1 के रूप में जाना जाता है। फर्मी-डिराक आँकड़े। श्वेत बौने तारों में उच्च घनत्व की स्थिति, या अन्य फर्मी गैसों में कम तापमान की स्थिति के लिए, रासायनिक क्षमता the महत्वपूर्ण हो जाती है और यह लगभग वैसी ही है जैसी फर्मी ऊर्जा पर पहले चर्चा की गई थी (और शून्य तापमान के लिए यह बिल्कुल समान है)। ध्यान दें कि मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मन आँकड़ों और फर्मी-डिराक आंकड़ों के बीच एकमात्र अंतर फ़र्मी-डीरेक सूत्र में "+1" है। इस तरह के एक मामूली अंतर, और फिर भी इस मामले का व्यवहार करने के तरीके पर इतना बड़ा प्रभाव पड़ता है!

बोसोन के बारे में क्या? वे पाउली अपवर्जन सिद्धांत का पालन नहीं करते हैं, इसलिए बोसोन की गैस एक साधारण शास्त्रीय गैस से अलग नहीं दिखाई देगी? नहींं, बोसॉन के पास अपने स्वयं के आँकड़ों का एक सेट है जिसे वे "बोस-आइंस्टीन आँकड़ों" के रूप में जानते हैं, जो मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन और फ़र्मी-डिराक आँकड़ों दोनों से अलग है।

भले ही वे पाउली अपवर्जन सिद्धांत का पालन नहीं करते हैं, समान बोसॉन अभी भी अलग-अलग कणों से अलग हैं क्योंकि कॉम्बिनेटरिक्स अभी भी अलग हैं। याद रखें जब हम हिल्बर्ट स्पेस में क्वांटम राज्यों पर चर्चा कर रहे थे? केवल 2 उपलब्ध राज्यों के साथ प्रत्येक समान बोसॉन की एक जोड़ी के लिए, हमने देखा कि जोड़ी में केवल 3 संभावित राज्य हैं वे 4 के बजाय हो सकते हैं आप उम्मीद करेंगे कि वे अलग-अलग थे। इसका सामान्यीकरण यह है कि K उपलब्ध राज्यों के साथ N समान बॉस्सों के सेट के लिए, "N चुनें K-1" = (N + K-1)! / N! / (K-1) हैं। विशिष्ट कणों के लिए के ^ एन के बजाय वे अलग-अलग अद्वितीय अवस्था में हो सकते हैं। (जहाँ निश्चित रूप से! निशान भाग 1 के रूप में गणितीय तथ्यात्मक प्रतीक हैं।) आप आसानी से जांच सकते हैं कि यह मेरे मूल उदाहरण के लिए काम करता है जहां एन = के = 2: (2 + 2–1)! / 2 /! (2 -1)! = 3! / 2 /! / 1 = (3 * 2 * 1) / (2 * 1) / 1 = 6/2 = 3।

पतित राज्यों की एक अलग संख्या रखने के लिए हर ऊर्जा स्तर की अनुमति देने से K_i, सूत्र को बहुत सारे कारकों के एक उत्पाद में विस्तारित किया जाना है, प्रत्येक (N_i + K_i + 1)! / N_i! / (K_i-1)। (ऊपर के रूप में एक ही बात, बस मैं उन पर अलग-अलग ऊर्जा स्तर E_i भेद करने के लिए सदस्यता लेता हूं)। इस अभिव्यक्ति की अधिकतम ज्ञात करने के लिए पथरी का उपयोग करने के बाद, परिणामी संतुलन स्थिति को एक के रूप में पहचाना जा सकता है जहां N_i = K_i / (e ^ ((E_i-µ) / / (kT)) हैं - प्रत्येक ऊर्जा स्तर में 1 कण E_i। यह बोस-आइंस्टीन आँकड़ों का सूत्र है। ध्यान दें, इस और फर्मी-डिराक सूत्र के बीच एकमात्र अंतर यह है कि +1 अब -1 है! यह उनमें से सभी 3 को याद रखना आसान बनाता है। हालांकि आमतौर पर बोसोन के लिए, µ 0 होता है क्योंकि वे आसानी से बनाए जा सकते हैं या नष्ट हो सकते हैं - उदाहरण के लिए, हमारे ब्रह्मांड में फोटॉन संख्या संरक्षित नहीं है, इसलिए वे जरूरत पड़ने पर बिना किसी लागत के दिखाई दे सकते हैं और गायब हो सकते हैं।

आइंस्टीन-बोस के आँकड़ों का सूत्र एक भारतीय भौतिक विज्ञानी सत्येंद्र नाथ बोस द्वारा खोजा गया था, फर्मी-डीराक आंकड़ों की खोज के एक या दो साल पहले सफेद बौनों के लिए लागू किया गया था। वह कैसे आया, इसकी कहानी आकर्षक है। वह 1924 में ब्रिटिश भारत में एक व्याख्यान दे रहे थे (जिसे अब बांग्लादेश कहा जाता है) "पराबैंगनी तबाही"। पराबैंगनी तबाही 20 वीं सदी की शुरुआत में समस्या के लिए दिया गया नाम था, जो किसी को नहीं पता था कि सांख्यिकीय यांत्रिकी से ब्लैकबॉडी विकिरण के लिए प्लैंक के फार्मूले को पूरी तरह से कैसे प्राप्त किया जाए, जिसकी मैं लंबाई पर चर्चा करता हूं कि अब तक मेरी सबसे लोकप्रिय कृति है (कहानी) कैसे प्लैंक ने एंट्रॉपी का अध्ययन करके क्वांटम यांत्रिकी पर ठोकर खाई)।

प्लैंक यह इंगित करने में सही था कि कुंजी मान लेना था कि ऊर्जा किसी तरह निर्धारित की गई थी, लेकिन वह पहले सिद्धांतों से पूरी तरह से साफ व्युत्पत्ति के साथ आने में सफल नहीं हुआ था, बिना अंदर के कंपन मोड के बारे में कुछ तदर्थ धारणाओं को शामिल किए बिना। ओवन। बोस दर्शकों को प्रदर्शित करने की प्रक्रिया से गुजर रहा था कि राज्यों और ऊर्जा स्तरों के मूल दहनकों से क्यों शुरू किया गया था, आप गलत सूत्र के साथ समाप्त होते हैं। सिवाय इसके कि अंत में, एक अजीब चमत्कार हुआ - उसने खुद को और सभी को किसी भी तरह से गलती से सही सूत्र पर समाप्त कर दिया। उसने जो कुछ किया था उसके माध्यम से वापस देखा और महसूस किया कि उसने एक गलती की है - राज्यों को गिनने में उसने उन्हें "गलत" तरीके से गिना था। उन्होंने गलती से फोटॉनों का इलाज किया था जैसे कि वे सभी समान और विनिमेय थे जो पहले से ग्रहण किए गए थे। इस बारे में अधिक सोचने के बाद, उन्होंने महसूस किया कि शायद वह किसी चीज़ पर थे - शायद यह वास्तव में गलती नहीं थी। वह नहीं जानता था कि इसके बारे में और किसे बताना है, इसलिए उसने अल्बर्ट आइंस्टीन को एक पत्र लिखने का फैसला किया। आइंस्टीन तुरंत बहुत उत्साहित थे और उन्होंने उस पर एक पेपर प्रकाशित करने में मदद की।

सत्येंद्र नाथ बोस

इसलिए प्लैंक के फार्मूले को पुन: प्रस्तुत करने की पहली कुंजी यह थी कि प्रकाश को ऊर्जा के अलग-अलग पैकेटों में परिमाणित किया जाता है जिसे अब फोटॉन कहा जाता है। लेकिन दूसरी बड़ी कुंजी यह थी कि इन फोटोनों की कोई व्यक्तिगत पहचान नहीं है। दूसरों की तुलना में कुछ अलग ऊर्जा और गति होने के बावजूद, वे सभी समान हैं। अड़चन के साथ, इसने बोल्ट्जमैन और गिब्स के बहुत पहले किए गए काम को सांख्यिकीय यांत्रिकी पर अधिक अर्थ दिया। N का एक कारक था! मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण को सही तरीके से करने के लिए समीकरणों में फेंका गया, और यह सुनिश्चित करने के लिए कि मात्रा के साथ एन्ट्रापी को ठीक से बढ़ाया जाए। गिब्स इस बात से अवगत थे कि इससे कणों के उपचार में कुछ लेना-देना होता है जैसे कि वे विनिमेय हों, लेकिन किसी ने उस पर ज्यादा ध्यान नहीं दिया या वास्तव में इसे दिल पर ले लिया था। बोस से पहले, आम तौर पर सभी ने अभी भी यह मान लिया था कि कण कम से कम सिद्धांत में किसी न किसी स्तर पर एक दूसरे से अलग होंगे।

बांग्लादेश में बोस की गलती ने भौतिकी की पूरी दुनिया को इस विचार के लिए ताबूत में कील लगाने की अनुमति दी कि क्वांटम कण प्रत्येक की अपनी पहचान है। यदि उनके पास होता, तो और भी राज्य होते और हमारे हाथों में अब भी एक पराबैंगनी तबाही होती - जो कि अलग-अलग फोटॉनों के थर्मोडायनामिक्स कभी भी ब्लैकबॉडी विकिरण को पुन: उत्पन्न करने में सक्षम नहीं होते थे, जो 1800 के दशक के उत्तरार्ध से ब्लैक होल ओवन में देखे गए थे। और न ही हम यह बता पाएंगे कि सूर्य या अन्य प्रकाश स्रोत ऊर्जा की अनंत मात्रा में विकिरण क्यों नहीं करते हैं।

और वह - मेरे दोस्त - यह कहानी है कि हमें कैसे पता चला कि सभी इलेक्ट्रॉन समान हैं!

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